Os Quatro Quatros

Arquivo - Crônicas Matemáticas

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Um dos problemas mais interessantes que eu encontrei lendo as aventuras de Malba Tahan, foi o dos quatro quatros. São números inteiros escritos na forma de expressões que envolvem o número quatro e sinais matemáticos. Na página 194 do livro “O homem que calculava”, encontramos alguns exemplos de como escrever, com quatro quatros, os números 24, 25, 26, 49 e 97, e que de certa forma, são bastante simples de se resolver.

Como podem ser observados nos exemplos a seguir, alguns números podem ser achados com as operações básicas e o fatorial do número 4.

 
4! + 4 ( 4-4) = 24;
 
4! + 4 (4-4) = 25;
 
4! + ( 4+4)/4 = 26;
 

4! + 4! + ( 4/4) = 49;

 
4! * 4 + ( 4/4) = 97;
 

Mas existem fórmulas gerais, e um pouco mais elaboradas, que podemos usar para encontrar estes números, com estas mesmas características. Um exemplo interessante é encontrado na revista do professor de matemática, nº. 4, do primeiro semestre de 1984, na página 34, (Rimou!)

F244
Fonte:Revista do professor de matemática nº 04

Outra fórmula muito parecida é a que encontrei em diversos locais da WEB, mas como já virou vício, dei preferência pelo site Wikipédia.

F144
 

 
 
 

E para os impacientes, mas inda assim curiosos, vou deixar um presente de grego na linguagem Python, que vai ajudar a resolver este pequeno “probleminha” dos quatro quatros de maneira mais prática.

 
import math
 
x=math.sqrt(4) # um
x=math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(x)))) # copie essa linha pra somar um
x=math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(x)))) # copie essa linha pra somar um
x=math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(math.sqrt(x)))) # copie essa linha pra somar um
x=math.log(x, math.sqrt(4)) # dois
x=math.log(x, math.sqrt(4)) # tres

x=x/-4; # quatro quatros!

print x
 
 

 

Para terminar, voltamos às aventuras de Malba Tahan, deixando uma palhinha do texto, onde ele descreve mais uma das peripécias matemáticas de seu companheiro de viagem.

 
Os Quatro Quatros
 

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:

- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.

- Não é o turbante que me interessa - retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda desse mercador é intitula “Os quatro quatros”. Há nisso tudo espantosa coincidência digna de atenção.

- Coincidência? Por quê?

- Ora, bagdali – retornou Beremiz- a legenda que figura nesse quadro recorda uma das maravilhas do cálculo: Podemos formar um número qualquer empregando quatro quatros!

E antes que eu interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz explicou, riscando na areia fina que cobria o chão:

- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever:

44 - 44

Estão aí quatro quatros formando uma expressão que é igual ao zero.

Passemos ao número 1. Eis a forma mais cômoda:

44 / 44

Representa essa fração, o quociente da divisão de 44 por 44. E esse quociente é 1.

Quer ver, agora, o número 2? Podem-se aproveitar, facilmente, os quatro quatros e escrever:

4/4 + 4/4

A soma das duas frações é, exatamente igual a 2. O três é mais fácil. Basta escrever a expressão:

(4+4+4) / 4

Repare que a soma 12, dividida por quatro, dá um quociente 3. Eis, portanto, o 3 formado por quatro quatros.

- E como vai formar o próprio número 4?

- perguntei.

- Nada mais simples - Explicou Beremiz.

- O 4 pode ser formado de várias maneiras diferentes. Eis uma expressão equivalente a 4:

[(4-4)/4]+4
 

( Segundo o Prof. Porto da Silveira – UFRGS, este problema foi criado pelos soldados americanos que participaram da segunda guerra mundial).

E desta forma, Beremiz vai resolvendo o problema dos quatro quatros, até o dez, como se fosse mágica pura.

Pois é, Já deu para perceber que durante suas aventuras, os dois amigos se deparam com alguns problemas para serem resolvidos, e desta forma a matemática é transformada num verdadeiro pote de cultura e muita imaginação.

Nos próximos artigos vamos aproveitar e passear mais uma vez, junto com Malba Tahan e Beremiz no “país das maravilhas”, ou melhor, das "mil e uma noites”.

 

Nota: Foi corrigido a expressão equivalente ao 4.

Fontes:

Revista do Professor de Matemática Nº 04,1984;
O Homem que calculava, Malba Tahan, 52º edição;
 


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Rafael Reinehr  - Fiquei de quatro! |28-05-2008 07:53:46
avatar Que posso dizer? Matemática é muito bom! Cada vez que trazem um dos contos/narrativas do beduíno matemágico, me vem, rápido qual faísca, as memórias das leituras deste maravilhoso livro que é O Homem que Calculava. Sua ilustração e complementação com outras abordagens do tema são primorosas. Continuarei sempre apreciando.
Carlos |10-06-2008 11:41:57
Artigo muito interessante e criativo.
Vale a pena relembrar Malba Tahan.
Gostaria apenas de assinalar um pequeno lapso na transcrição da expressão para obter o número quatro:
[(4+4)/4]+4
Parece-me que essa expressão gera o número 6, não é?
stummjr  - correção |11-06-2008 16:23:22
"""
- O 4 pode ser formado de várias maneiras diferentes. Eis uma expressão equivalente a 4:
[(4+4)/4]+4
"""

o correto seria:
[(4-4)/4]+4
Antonio Madrid  - Desculpas |04-07-2008 16:51:43
avatar Tudo bem Carlos? Realmente, a expressão correta, é a que o JR citou no seu comentário. Como no livro esta expressão esta correta, fica aqui minhas desculpas pelo pequeno erro cometido por mim. Obrigado pela atenção.
Anônimo |10-10-2008 19:13:24
Posted image
oi amor
Anônimo |10-10-2008 19:22:39
:X :X :X :X :X :X :X :X :X :X :X :X :X :X
Vcs sao uns merda :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :evil: :confused: Opa desculpa a falta de educaçao
andreia de oliveira e silva  - respostas |27-10-2008 15:02:15
oi boa tarde.
estou fazendu um trabalho de matematica e preicisava das respostas do desafio dos quatro e em quatro, vc poderia me enviar por e-mail ficaria mto agradecida.

andreia
Gilberto Agostinho |22-12-2008 20:10:35
Character problem. empty comment
Gilberto Agostinho |22-12-2008 20:11:11
'É preciso desconfiar sete vezes do cálculo e cem vezes do calculista.'
gabriela  - me envia urgente |28-01-2009 13:58:46
to presizando da resposta dos quatro quatros de 5 ate o 10



um beijo e brigada
rodolfo |08-02-2009 13:16:25
(4x4+4)/4 = 5
matheus  - fxdgxdfgxdfgxdfg |16-09-2009 21:06:55
ai alguem pode me dar a resaposta da quetão 99sem terminal(sinal)
André  - Quatro quatros =13 |05-07-2010 10:10:15
Tenho uma questão super complicado para resolver, alguem ai pode mim dizer como se resolve Quatro quatros dando resultrado 13 usando as quatro operações básicas.
Por favor mim ajudem!
Obrigado!
RUBENS NATAL ALVES  - O problema dos quatro quatros |27-08-2011 12:00:14
Desculpe-me, mas há um ligeiro engano quando se coloca ? (termial) para a solução do problema dos quatro quatros, pois M. Tahan não o colocou como solução. Tal situação foi colocada em virtude da não transformação do número 4 em número 1.
Em 2004 consegui uma sequência matemática, na qual transformei o número 4 em número 1, considrando isto como uma tese em matemática, desta forma resolvi editar uma apostila, a qual está registrada na Biblioteca Nacional do RJ. Devo salientar que dentro desta tese montei uma equação e com ela transformo não só o 4 em 1, mas qualquer número em 1.
Gostaria de retorno.
Grato
Iriana Claudia Pereira Dias |23-01-2013 09:53:14
À todos os interessados em Matemática, mais especificamente no Problema dos 4 quatros, informo que meu pai, Irio Alipio Pereira Dias calculou com os quatro 4, até o número 10.000. É um negócio de louco, digamos que ele começou a se envolver com isso no ano de 2003 e a partir daí não parou mais.
Iriana Claudia Pereira Dias |23-01-2013 09:55:47
Meu pai está envolvido com estes problemas desde o ano de 2003 e ele já calculou até o número 10.000
Iriana Claudia Pereira Dias |23-01-2013 09:58:03
Gostaria de informar que meu pai também calculou até o número 1.000 fazendo com três 3.
Rubens  - como seu pai transformou o 4 em 1? |28-01-2014 07:43:15
A respeito do título, como ele fez?
Aguardo retorno.
Rubens  - Os Quatro Quatros |18-04-2016 13:52:34
Boa tarde! Até hoje não recebi informações como seu pai conseguiu, aguardo retorno.
Saudações
Me tuíta!
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