Os Conceitos Matemáticos

Henrique Cruz

Nov 22 |19:19

A Matemática é uma ciência exata mas não como a Física e a Química. Estas estudam as “verdades” dos fenômenos naturais, ao passo que a Matemática basta-se a si mesmo, sem recorrer a nada que lhe seja estranho. A escala das temperaturas e o balanço das empresas apresentam números positivos e negativos, mas são apenas exemplos de aplicação, nada mais. Por isso, os conceitos matemáticos devem ser isentos de indefinições e contradições, para que possam ser utilizados como premissas no desenvolvimento das teorias. Vejamos um exemplo simples de como atua o pensamento matemático. Suponhamos a expressão aritmética: 3 vezes um terço, 3x1/3. Realizando a multiplicação temos 3 sobre 3, 3/3. Portanto, o resultado da expressão é 1. Mas agora vamos proceder de outra forma, também correta: 1 a dividir por 3, 1/3, dá 0,3333... . Multiplicando por 3, temos como resultado final 0,9999... . Dois resultados diferentes. É uma contradição! Não é, pois 0,9999... é uma dízima periódica, ou seja, uma outra representação do número 1. Apesar de 0,9999... ser intuitivamente equivalente a 1 é necessário provar que isso é verdade. Há na lógica matemática, um princípio universal, chamado princípio da indução completa, que nos diz que se uma operação se repete sempre rigorosamente nas mesmas condições, ela irá se repetir indefinidamente. Assim acontece com a divisão de 1 por 3. O 3 de 0,3 repetir-se-á sempre nas mesmas condições operacionais. Portanto a divisão repete-se indefinidamente. Vejamos outro exemplo. Um número inteiro, qualquer que seja, multiplicado por si mesmo, passa a ser uma potência desse número. Quer dizer, o número ou seja a base, elevada a um outro número, o expoente, indicando quantas vezes o número base se repete. Temos portanto a seguinte seqüência: a,a²,a³, a⁴, ... , desde que o o número expoente seja maior que 0. Se for zero não pode? Pode, mas é um caso especial. Qualquer número base elevado a zero é igual a 1. Podíamos explicar este resultado dizendo que se multiplicarmos dois números quaisquer da seqüência das potências de base “a”, o resultado é um outro número da mesma seqüência, de expoente igual à soma dos dois expoentes anteriores. Suponhamos agora que os dois números a serem considerados tenham os expoentes 0 e “m”. O resultado é “a” elevado a “0+m”. Mas 0 mais “m” é igual a “m”, 0+m=m, visto que 0 é o elemento neutro da soma. Portanto, “a” elevado a “0+m” é igual a “a” elevado a “m”, igualdade que só pode ser satisfeita se “a” elevado a zero for igual a 1, a⁰=1. Esta demonstração não vale, pois estamos argumentando num círculo vicioso, comprovando um enunciado com outro enunciado. Os matemáticos justificam o resultado de outra forma, dizendo que se a⁰=1 se “encaixa” na estrutura sem ferir nenhum preceito matemático, é porque está correto. Vejam que este argumento só pode valer, se todos os conceitos matemáticos forem isentos de quaisquer insuficiências e contradições, o que é uma verdade axiomática. Vejamos um outro caso. O exercício de definição de conceitos a partir das suas abrangências. Consideremos a expressão abstrata simbólica y=f(x). Esta expressão é genérica, serve apenas para definir o conceito de função. Ou seja, “y” é função de “x”, onde, convencionalmente, “x” é a variável independente e “y” a variável dependente. Quer dizer, existe uma relação simbólica entre os elementos de dois conjuntos de variáveis, representada pela letra “f”. Nada mais. Vejamos agora alguns exemplos de aplicação. Comecemos por y=xn, onde “n” é um número inteiro. Trata-se da equação das potências de “x”. Se “n” for igual a 2 temos y=x² que é a expressão mais simples de uma equação do 2° grau. Esta equação tem duas raízes. Admitamos x=2, temos y=4, mas isso se considerarmos somente o valor absoluto de “x”. Na verdade temos dois valores +2 e –2, ambos dando 4 quando multiplicados por si mesmos. É o que diz a regra dos sinais da multiplicação, + vezes + dá + e – vezes – dá também +. Evidentemente esta equação é muito simples. O que interessa é a equação característica do 2° grau completa ax²+bx+c=0., a equação quadrática. Passemos a outro exemplo y=n^x, onde a variável independente não está na base mas no expoente. Representa uma função completamente diferente. Consideremos o número 10 como o valor da base “n”. Se dermos a “n” o valor 2 temos y=10²=100. Quer dizer, temos uma outra função, o logaritmo de um número. Neste caso, o logaritmo de 100 é o expoente a que temos que elevar a base 10 para repoduzir o número. Ou seja, log100 na base 10 é igual a 2. Um conceito completamente diferente do anterior. Estes exemplos mostram como partindo dos mesmos conceitos genéricos, é possível estruturar equações representado ramos distintos do conhecimento matemático.

Fico por aqui. Até à próxima.