Combinações

Henrique Cruz

Set 05 |11:20

Não há ninguém que não conheça o modelo de placa de automóvel, um código alfanumérico constituido por uma combinação de três letras do alfabeto e quatro algarismos inteiros positivos. O código deve obedecer a uma condição obrigatória, não pode ter nenhuma repetição, visto que a placa é a identificação do automóvel. Este caso e outros similares fazem parte da análise combinatória, ramo da matemática cujo objetivo é enumerar todas as disposições que se possam formar com os elementos de um conjunto finito. Comecemos com os conceitos elementares. Com os algarismos 123 quantos números podem ser formados? O total de números possíveis é dado pelo produto 1x2x3 ou seja 6, chamado de n fatorial de notação n !. Assim temos 123, 132, 321, 213, 231 e 312, total seis números. Se fossem quatro algarismos teriamos 4 ! ou seja 1x2x3x4 = 24 e assim por diante. Mas não se deixe enganar com estes exemplos. Se tivermos os algarismos 427, por exemplo, o total seria 4x2x7 = 56?. Errado. O que interessa não é o valor dos algarismos em si, mas as suas posições na sequência, ou seja, em 1º lugar, 2º lugar ou 3º lugar. Portanto o total de números que se podem formar com 427 ou com três outros algarismos quaisquer é sempre o mesmo, 24. Mas estes casos são os mais simples, isto é, o de determinar quantos números se podem obter com um conjunto de n algarismos. Mais importante e mais complicado é saber quantas combinações são possíveis de se obter para um total de m elementos quando se utilizam apenas n elementos. Vejamos o nosso caso. De quantas maneiras com as letras do alfabeto podemos selecionar três dessas letras? Isso depende se a ordem das letras importa ou não e considerar se é permitido ou não escolher a mesma letra mais de uma vez. Façamos primeiro um exercício genérico com todas as alternativas. Suponhamos três letras a, b, c. Se a ordem das letras importa e se as letras se podem repetir temos 9 escolhas aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, total 9. Se a ordem importa mas não se pode repetir temos 6 escolhas, ab, ac, ba, bc, ca, cb, total 6. Se a ordem não importa mas a repetição é permitida, temos também o mesmo total de 6 escolhas, ou seja, aa, bb, cc, ab, ac, bc, total 6. Agora se tanto a ordem quanto a repetição são proibidas, temos o total só de 3 escolhas, ab, bc, ac. Desta classificação resulta uma definição fundamental. Se a ordem importa o que efetuamos são permutas. Se a ordem não importa então o que fazemos são combinações. Qual a diferença entre permutação e combinação? Na permutação as condições são rigorosamente idênticas na seqüência das aplicações, ao passo que na combinação elas podem mudar. No caso das placas de automóvel as letras podem ser repetidas mas importa respeitar a sua ordem de formação. Portanto o que queremos efetuar são permutações de letras. Consideremos as 24 letras do alfabeto, de A a Z, com as quais desejamos formar grupos de três letras. Temos total liberdade na escolha das três letras, desde que uma vez escolhida a sua ordem não seja repetida. Comecemos com a letra A. Podíamos fazer AAA, ou AAB ou AAC, etc., etc., mas estes casos não interessam. AAA só dá uma composição, AAB, AAC etc., dão apenas três composições AAB, ABA, BAA para cada caso. O que interessa é começar com três letras distintas do alfabeto, ou seja, ABC. Temos ABC, BCD, CDE, DEF e assim por diante até VXZ. São um total de 24 composições. Agora com BAC, CBD, DCE, EDF e assim por diante até XVZ. Dá outro total de 24 composições. Por último, CBA, DCB, EDC, FED e assim por diante até ZXV. Temos mais um total de 24 composições. Conclusão, o total geral de composições possíveis são 24 elevado a 3, ou seja 24x24x24 = 13.824. Passemos agora aos quatro algarismos da placa do automóvel. Os algarismos a utilizar são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, 10 algarismos ao todo, a serem considerados em grupos de quatro algarismos cada. Do mesmo modo que o anterior das letras, temos agora 10 elevado a 4, ou seja, o total de 10x10x10x10=10.000. Portanto o total final de composições possíveis do modelo de placa de automóvel é de 13.824x10.000 = 138.240.000, um total suficiente para cobrir toda a frota de automóveis existente. Este é apenas um exemplo de aplicação da análise combinatória. No entanto, cada vez mais as nossas atividades diárias são realizadas através de máquinas. Até mesmo a nossa identidade é uma combinação de algarismos que, é óbvio, não se repetem, é exclusiva de cada um de nós. Mas se por um lado nos beneficiamos dessa técnica numérica, por outro lado temos de impedir o acesso a estranhos, que queiram tirar proveito das suas atividades ilegais. Senhas e contra-senhas ampliam o universo técnico protegendo o sigilo das informações, numa batalha contínua entre o legal e o ilegal. A diversidade de programas é enorme, criando especialidades profissionais para operar os sistemas que a sociedade moderna coloca à nossa disposição.

Fico por aqui. Até a próxima.

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