As leis de Kepler

Henrique Cruz

Mai 09 |16:26

Retorno a Johannes Kepler, (1571–1610), matemático e astrônomo alemão, que definiu as leis do movimento dos planetas do sistema solar, a partir dos dados obtidos por Tycho Brahe, (1546-1601), nobre dinamarquês. No seu castelo-observatório, Brahe mediu com um quadrante, durante anos, os ângulos dos planetas em relação a estrelas longínquas supostamente fixas, obtendo assim as suas posições no movimento de translação em torno do Sol. Com esses dados Kepler definiu três leis válidas para todos os planetas, Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão, nove planetas na ordem dos afastamentos do Sol. Podem ser divididos em duas famílias, os chamados telúricos perto do Sol, Mercúrio, Vênus, Terra e Marte, pequenos, densos e dotados de crosta sólida que evoluíram bastante depois de formados, e os mais afastados, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, gigantes massivos mas pouco densos, cujas atmosferas compostas basicamente de hidrogênio e hélio são próximas à da nebulosa que lhes deu origem. Quanto a Plutão nem todos os astrônomos concordam em classificá-lo como planeta, pois se assemelha aos telúricos por suas dimensões e aos gigantes por sua densidade. Mas vamos ao que interessa. Primeira lei: Os planetas movem-se em órbitas elípticas em que o Sol ocupa um dos focos. Na geometria elipse tem a seguinte definição: é o lugar geométrico de todos os pontos do plano cuja soma das distâncias do ponto a dois pontos fixos chamados focos é uma constante. Observem o desenho anexo onde o ponto P da curva está ligado aos focos F1 e F2.

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Qualquer que seja o ponto da curva escolhido, a soma das distâncias do ponto aos focos é uma constante. A elipse apresenta dois eixos ortogonais, o eixo maior onde se situam os focos e o eixo menor que lhe é perpendicular no centro. Devido à sua propriedade a elipse é uma curva fácil de traçar. Num papel com base firme marque dois pontos, os focos, e fixe neles os extremos de um fio não elástico, cujo comprimento seja superior à distância entre os focos. Basta que seja um pouco maior. Com a ponta de um lápis estique o fio e gire com ele de modo que o fio, sempre esticado, conduza o lápis no seu traçado. O resultado é uma elipse. Observe que os dois eixos são eixos de simetria. Agora suponha que no seu giro o ponto esteja no extremo do eixo maior mais perto do Sol. Neste caso o comprimento do fio é igual à soma da distância entre os focos, mais duas vezes a distância do ponto extremo ao foco mais próximo. Quer dizer o comprimento do fio, ou seja, a soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse aos focos, é sempre igual ao comprimento do eixo maior da elipse. Conclusão: o eixo maior da elipse com os seus dois focos define, por si só, a distância do planeta ao Sol. Em astronomia diz-se que define o periélio e o afélio, ou seja, o ponto mais próximo e o mais afastado do planeta ao Sol. O sistema solar é um sistema em equilíbrio permanente desde que as forças que nele atuam não se alterem. Esse equilíbrio permanente é garantido pela propriedade da forma elíptica das órbitas, visto que para qualquer ponto, a soma das distâncias aos focos é constante. Vejamos agora a segunda lei. Ela é específica do campo gravitacional e diz-nos como o planeta percorre a sua órbita. Segunda lei: o segmento de reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Observem o desenho correspondente.

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Se ligarmos o ponto A ao Sol por uma linha reta e a prolongarmos até o lado oposto obtemos o ponto B. Consideremos agora um intervalo de tempo em que o ponto A seja o centro do arco percorrido pelo planeta. Ao setor percorrido por A corresponde um outro setor percorrido por B, conforme mostram as áreas sombreadas do desenho. Como em tempos iguais as áreas varridas são iguais, os arcos percorridos da órbita são desiguais, o do ponto B mais extenso que o do ponto A. Quer dizer, quanto mais perto do Sol estiver o planeta, mais extenso é o arco da órbita percorrido, ou seja, maior é a sua velocidade de translação já que estamos lidando com tempos iguais de percurso. Considerando agora a elipse como um todo, a conclusão é que na metade da órbita que vai do afélio ao periélio, o planeta aumenta sempre a sua velocidade, ao passo que, na outra metade que vai do periélio ao afélio, o planeta diminui sempre a sua velocidade. As excentricidades dos planetas são pequenas, o que faz com que as variações da velocidade de translação passem despercebidas. Vejamos agora a última lei. Terceira lei: os quadrados dos períodos das órbitas dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das respectivas elipses. Esta lei compara os tempos de translação dos planetas com o tempo de translação da Terra, considerado como a unidade de referência. Isto é, quantas translações da Terra correspondem à translação de um outro planeta. Assim, sendo 1,00 o período da Terra, ou seja um ano, ao planeta Mercúrio corresponde a 0,24 do ano terrestre e a uma distância média do Sol de 0,39 da distância média terrestre. Em astronomia, a distância média Terra-Sol é uma unidade astronômica ou 1UA. Os dados dos restantes planetas são: Vênus 0,62 e 0,72; Terra 1,00 e 1,00; Marte 1,88 e 1,52; Júpiter 11,86 e 5,20; Saturno 29,46 e 9,54; Urano 84,10 e 19,19; Netuno 164,80 e 30,06. A relação de Kepler não vale para Plutão considerado planeta anão. Admitamos como simples raciocínio, que a Mercúrio corresponda 0,25 e não 0,24. Quer dizer, a uma translação completa da Terra, correspondem quatro translações de Mercúrio. Enquanto a Terra dá uma “volta”, Mercúrio dá 4 “voltas”. Observem que a partir de Marte os números se invertem. Enquanto Marte dá uma “volta”, a Terra dá quase duas “voltas”. Daí para a frente os números crescem rapidamente. Para Netuno, o planeta mais afastado do Sol, um ano corresponde a quase 165 anos da Terra. As Leis de Kepler continuam válidas até hoje e constituem proposições fundamentais para o conhecimento do cosmo.

Fico por aqui. Até a próxima.

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