A álgebra abstrata

Henrique Cruz

Abr 12 |16:32

A álgebra é o portal da Alta Matemática. Começa simples pela generalização da aritmética, com a substituição dos números por letras. Diofante, séc.II d.C., exibe os primeiros cálculos algébricos com as equações do 1ºgrau. Em seguida, surgem as equações do 2ºgrau, as soluções por radicais, as equações do 3ºgrau, etc., etc.. À medida que ocorrem as expansões conceituais, as generalizações atingem níveis cada vez mais elevados. David Hilbert, (1862-1943), famoso matemático alemão, foi o responsável pelas expansões ao afirmar que a álgebra lida, não com números, mas com objetos, somente definidos pelas suas propriedades formais. Baseados neste conceito, o filósofo Bertrand Russell e o matemático North Whitehead, decidiram montar um sistema matemático completamente formalizado que incluisse todos os tipos corretos de raciocínio. Esta intenção de “congelar” a matemática foi impedida, em 1931, por Kurt Gödel, lógico austriaco. A conclusão foi surpreendente e inesperada. Saiba como.

A álgebra que aprendi na escola tinha apenas esse nome, sem nenhum adjetivo. Deve ainda ser assim que é ensinada nas nossas escolas. Mas, agora, a matemática moderna batizou-a de álgebra abstrata para distingui-la da anterior. Na verdade a matemática toda é abstrata. Devem portanto existir diferentes níveis de abstração, para que possam ocorrer as distinções. Quer dizer, temos de admitir que à medida que os conceitos se generalizam, as abstrações atingem níveis cada vez maiores. De fato, a álgebra começou de uma maneira muito simples com a generalização da aritmética, isto é, dos números, suas operações e propriedades. Um passo claramente algébrico foi dado com a substituição dos números por letras. Podemos considerar Diofante de Alexandria, (séc.II d. C.), o primeiro a desenvolver o cálculo algébrico com as equações do 1º grau ax+by=c de números inteiros, onde a, b e c são constantes dadas e x e y incógnitas a serem determinadas. Estas equações são exclusivamente de caráter numérico, em que x e y são as raízes , isto é, os números inteiros que as satisfazem. É óbvio que x e y não são variáveis, pois representam apenas números inteiros a serem determinados. A partir de então, os matemáticos passaram a estudar as equações do 2º grau e os seus modos de resolução por meio de radicais. A evolução continuou com as equações do 3º grau, 4º grau, etc, até às equações de grau n, apoiadas no teorema fundamental da álgebra, segundo o qual as equações de grau n têm tantas raízes quantas o seu grau.
Vou agora aproveitar o tema do meu trabalho anterior, a regra de três. Mas vou conceituar esse tema como fazendo parte da álgebra abstrata, para que vocês possam avaliar a generalização a que isso corresponde. Consideremos o conjunto dos números naturais 1,2,3,...n . Vamos tomar uma pequena liberdade, incorporando o zero, que -vocês sabem- não é um número natural. Temos então o conjunto finito 0,1,2,3,...n. Admitamos que os seus elementos possam realizar as quatro operações: somar, subtrair, multiplicar e dividir. Mas isso nas seguintes condições: somar e multiplicar, sem restrições, visto que os resultados são sempre em números naturais; subtrair, se e somente se, o diminuidor for igual, ou menor, que o diminuendo; dividir, a/b=c/d, se e somente se, a.d=b.c. Desta forma, o conjunto considerado 0,1,2,3,...n está perfeitamente definido, porquanto as suas propriedades operacionais podem ser realizadas, dentro das regras estabelecidas, sem quaisquer limitações, visto que os resultados são sempre em números naturais. Isto é, podemos dizer que o conjunto 0,1,2,3,...n faz parte, está contido, no conjunto maior dos números naturais, independentemente do valor de n a ser adotado. Mas já que ele pode ser qualquer número natural, (excluindo o zero), vamos substituir n por x. Observem. Nos primeiros estágios da álgebra, x significa apenas um número desconhecido, em que o objetivo do trabalho é descobrir o seu valor. Mas agora x tem uma generalização muito maior, pode ser qualquer número do conjunto de números naturais. Logo podemos denotá-lo como sendo uma variável e não uma simples incógnita. Com isso demos um passo importante. Incorporamos ao conceito de conjunto, as idéias de proporção, variação e função. Ainda mais, para o teorema fundamental da álgebra tanto faz que x seja uma constante ou uma variável. O teorema continua válido. O mesmo raciocínio pode ser aplicado para qualquer sistema de números, sejam inteiros, racionais, reais ou modulares.
Quem contribuiu para esta visão da álgebra foi o matemático alemão, David Hilbert, (1862-1943) ao argumentar que os conjuntos algébricos eram constituídos por objetos, grandezas definidas, não por si mesmas, mas pelas suas propriedades algébricas. Portanto, um conjunto seria uma coleção de coisas – objetos físicos ou conceitos matemáticos – que podiam ser tratadas como um todo. Na matemática, os elementos de um conjunto são, muitas vezes, conjuntos em si mesmos, formando um conjunto de conjuntos. E assim sucessivamente, podemos ter um conjunto de conjuntos de conjuntos, etc.,etc.. A partir desta suposição, os matemáticos acreditaram ser possível formalizar regras e procedimentos, cujas verdades não podiam ser postas em questão. Isto é, seria possível criar um sistema matemático totalmente formalizado, englobando todos os tipos de raciocínio matemático corretos. Assim, poder-se-ia provar, logo de início, se qualquer proposição seria válida ou não. Então, o lógico e filósofo Bertrand Russell juntamente com o matemático Alfred North Whitehead, tentaram montar uma enorme “enciclopédia” matemática, com todas as regras, procedimentos e símbolos possíveis. Este monumental trabalho destinado a “enclauzurar” a matemática não chegou ao fim. Em 1931, o matemático e lógico austríaco Kurt Gödel, demonstrou que um sistema totalmente formalizado e isento de contradições, teria sempre de conter algum enunciado que não se poderia nem provar nem refutar. Quer dizer, acima da matemática, existiria uma metamatemática, acima desta, uma metametamatemática e assim sucessivamente. Ou seja, existiam sempre verdades axiomáticas, que temos de aceitar sem demonstração.

Fico por aqui. Até à proxima.

Adicione esta página ao seu Marcador Social favorito

Comentários

Adicionar novo

RSS

Escrever um comentário

Nome:

E-mail:

Website:

Título:

UBBCode:

Por favor coloque o código anti-spam que você lê na imagem.

Anônimo

|29-05-2009 00:56:12

Caro autor, ao terminar de ler seu artigo senti um misto de emoções...
...A primeira delas, tristeza, por nunca ter sido apresentado à matemática de maneira clara e desvelada, mesmo concluindo meus estudos de "primeiro e segundo grau" em um colégio reconhecido nacionalmente pela qualidade de ensino. Seria capaz de apostar, caso tal situação se apresentasse, que o mesmo acontece em todas as escolas, provavelmente em muitos outros países.
Não se dá uma dimensão, uma profundidade, sobre o que será ensinado quando ainda somos crianças. "Ahh, mas uma criança não entenderia questões subjetivas como essas, são coisas muito complexas para a compreensão de um ser que está começando a ser instruído". Mas com o passar do tempo, com o aprimoramento da capacidade cognitiva da pessoa, não seria possível estabelecer relações entre "matemática numérica" e "matemática filosófica", para que fosse possível vislumbrar as possíveis motivações dos primeiros ditos "matemáticos" e consequentemente por onde se caminha atualmente, pois, como o próprio autor disse, "Na verdade a matemática toda é abstrata".
Ao mesmo tempo, se é que isso é possível, fiquei feliz em ver em sua exposição de ideias, a preocupação didática em fazer com que ficasse fácil de entender, onde na minha modesta opinião, alcançou o objetivo.
Finalizando, fica o sentimento que tenho certeza que não conseguirei retirar de mim, pois assim como a matemática, a física, a filosofia e outras, não conseguirão nunca chegar á um inicio, um ponto de partida, onde seja possível desenvolver uma "trama" que não seja passível de falhas ou refutações. Essa será nossa eterna busca, nossa eterna fonte de inspiração, será sempre algo que transcende à nós.
Um abraço,
Romeu Fachin

Citar